宇宙に置いた装置の99.99％は、何の確率なのか

宇宙に装置を置いて、長く待たせ、必要なときに99.99％の確率で動かす。そんなことは可能なんだろうか。

宇宙兵器をめぐる報道から気になったのは、作動する一瞬より、その前の待ち時間だった。ここでは兵器の構成や性能ではなく、一般的な宇宙機・観測装置の信頼性と、SFでの描き方を考える。99.99％は実在装備の公表値ではなく、問いのために置いた数字だ。

「ほぼ確実」を、百個並べてみる

一つの機能が成功する確率を $p=0.9999$ とする。同条件で独立な100回がすべて成功する確率は、

p^{100}=0.9999^{100}\approx0.990049

で、約99.005％になる。一回の数字をそのまま全体の数字として読めない。

また、独立した五段階がすべて必要で、各段階の成功確率が0.999なら、全体は $0.999^5\approx0.995010$ 、約99.501％だ。いずれも架空の計算例で、実在装置の故障データではない。

直列に必要な条件が増えると、全体の成功確率は積になる。ただし独立でなければ単純な積にはできず、条件付き確率で扱う必要がある。共通の環境やソフトウェアに依存する装置を、別々の試行として数えるのは早い。

一般的な試験の思考実験として、同じ条件の独立な試行を $n$ 回実施し、故障がゼロだったとする。故障確率を $q$ とすれば、ゼロ故障を見る確率は $(1-q)^n$ 。

片側95％の二項分布による上限を求めるなら、

q_U=1-0.05^{1/n}

となる。これが $10^{-4}$ 以下になるには、

n\ge \frac{\ln 0.05}{\ln(1-10^{-4})} \approx29955.8

つまり少なくとも29,956回のゼロ故障試行が必要になる。この値は明示した統計モデルからの計算で、宇宙装置の認証要件ではない。

数式で一桁増やすのは簡単だけれど、その桁を裏付ける観測は急に重くなる。さらに29,956回あっても、全部が同じ試験条件なら、その外側の環境を検証したことにはならない。

待機時間を $t$ 年、待機後に健全である事象を $H_t$ 、要求された動作が成功する事象を $S$ とする。「健全な状態であることが成功に必要」と定義するなら、

P(S)=P(H_t)P(S\mid H_t)

と分けられる。試験台での一回の作動は、右側の後半だけを見ているかもしれない。長期待機した後の状態が変わるなら、同じ一回でも条件が違う。

ここで知りたくなるのは、正常表示を返していることと、必要な機能が残っていることの関係だ。ソフトウェアのヘルスチェックに似ているが、現地で再起動や交換ができない装置では、観測が増えても選べる対処は限られる。

創作の条件として面白いのは、装置が突然都合よく壊れることより、登場人物が試験の限界を知っている状況だ。

実機でもこの確率を置けるのかは、試験条件や観測期間による。長く待った後の一回と、同じ条件で繰り返す一回を、どう数え分けるのだろう。成功率の数字を見るときは、その分母の作り方まで気になってくる。

数理的にリアルな物語は、数字を細かく並べることではなく、その数字が何を保証していないかを、登場人物も抱えている物語なのかもしれない。