コーヒーの最後の一滴を、ロボットはどう待つのか

コーヒーが落ち切るころ、ドリッパーを別のカップへ移す。最後の一滴を待って、「今ならいける」と動かす。この何気ない判断をロボットに任せるなら、何を渡せばいいんだろう。

直近の滴下間隔を測ればよさそうだ。でも、しばらく落ちていないから安全なのか、それともそろそろ落ちるから危ないのか。考えてみると、ここからもう答えが一つではない。

「待った時間」の意味は、モデルで逆になる

滴下直後から次の滴下までの時間を $X$ 秒、すでに待った時間を $a$ 秒、移動に必要な時間を $\tau$ 秒とする。静止中と移動中で滴下の仕組みが変わらない、という仮定をまず置く。

生存関数を $S(u)=P(X>u)$ と書けば、今から移動を終えるまで落ちない確率は、

P(X>a+\tau\mid X>a)=\frac{S(a+\tau)}{S(a)}

になる。 $S(a)>0$ が必要だ。これは独自に組み立てる制御の説明で、実機の性能ではない。

間隔が指数分布で、滴下率を一定の $\lambda$ 回/秒と仮定すると、 $S(u)=e^{-\lambda u}$ なので、この比は $e^{-\lambda\tau}$ 。何秒待ったかは消える。待っても、安全になるわけではない。

一方、必ず $D$ 秒ごとに落ちる理想的な周期モデルなら、 $a+\tau<D$ のときだけ間に合う。こちらでは、待つほど残り時間が減る。

「間隔が長くなってきた」という観察と、「今の一滴を長く待った」は別の情報なんだな、と分かる。

実際には、持ち上げることで振動や傾きが加わる。静止中の動画をいくら集めても、動かした瞬間の滴下まで説明できるとは限らない。

そこで移動条件 $u$ を含むハザード $h(s\mid \mathcal H,u)$ を仮に使う。 $\mathcal H$ は滴下時刻や画像の履歴、 $h$ は1/秒。移動中の滴下確率を、

p_{\mathrm{spill}}(u) =1-\exp\left(-\int_0^\tau h(s\mid\mathcal H,u)\,ds\right)

と表す。ただし、滴下がすべてカップ外へ落ちると仮定した簡略化だ。実際には軌道によって受け止められる滴もある。

ここで「最速で動かす」が最適とは限らなくなる。 $\tau$ を短くしても、加速によって $h$ が増えるなら、こぼす確率は上がり得る。

待ち時間 $w$ 秒のコストを $c_w w$ 、一回こぼしたときの平均的な片付け負担を $C_s$ とすると、

J=c_w w+C_s p_{\mathrm{spill}}

と置ける。 $c_w$ は負担/秒、 $C_s$ は負担/回。いずれも、この作業をどう評価するかの仮定だ。

受け皿の追加負担を $C_{\mathrm{tray}}$ 、受け皿によって減る片付け負担を $\Delta C_s$ とする。他が同じなら、

C_{\mathrm{tray}}<\Delta C_s\,p_{\mathrm{spill}}

で受け皿が有利になる。予測を改善する代わりに、外れたときの損失を下げるという選択肢が、同じ式の中へ入る。

認識を賢くする話から始めたのに、道具の形まで検討対象になった。こういうところが、日常動作を制御問題へ落とす面白さだと思う。

静止中の滴下時刻を動画から取り、直近間隔だけの予測と、水滴の形も使う予測を、別試行で比較する。次に移動ありの試行で、所要時間と加速度条件を変える。静止時には合った予測が移動時だけ外れるなら、行動依存の項が必要になる。

さらに受け皿あり・なしで片付け時間を測れば、予測精度の改善と道具の追加を同じ作業負担で比べられる。

このモデルで人の判断を説明できたわけではない。でも、次に知りたいのはもう「人はどう判断するのか」だけではない。どの情報を増やすより、どの動作を変えるほうが効くのかを試したい。