水は低いところへ流れる。それなのに、なぜ街に残るのか

雨水は低いところにたまり、そこが満ちたら次へ流れ、最後は川や海へ出る。頭の中では、お椀がいくつもつながったような地形を想像していた。

でも、それなら出口がある街で、なぜ水がなかなか引かないのだろう。低い場所の順番だけでなく、そこから出ていく速さまで考えないといけない。

地面の高さと、水面の高さ

USACEのHEC-RAS技術資料では、浅水方程式が体積と運動量の保存を扱う。実際の計算は、低い地面を順番に塗りつぶす処理ではない。

以下は、その理解のために置く独自の簡略モデルだ。地面の標高を $z$ m、水深を $h$ mとすれば、水面の標高は $\eta=z+h$ 。流れを考えるとき、まず見たいのはこの水面の差である。

面積 $A$ m²の区画について、

A\frac{dh}{dt}=Ar+Q_{\mathrm{in}}-Q_{\mathrm{out}}-I

と書く。 $t$ は秒、 $r$ は降雨強度m/秒、 $Q_{\mathrm{in}},Q_{\mathrm{out}},I$ は流入、流出、浸透などによる損失でm³/秒。どの項も体積の時間変化になっている。

出口の敷居を $z_s$ m、下流水位を $\eta_d$ mとし、

Q_{\mathrm{out}} =\min\left(Q_{\mathrm{cap}},k\max\left(\eta-\max(z_s,\eta_d),0\right)\right)

と仮定する。 $Q_{\mathrm{cap}}$ は排水容量m³/秒、 $k$ はm²/秒。実際の堰や管路の流量式ではなく、逆流も省いた教育用モデルだ。

敷居か下流水位の高いほうを $H$ とすると、 $\eta\le H$ では排水しない。川が増水して $H$ が上がれば、街の地面が変わらなくても出口の効き方が変わる。

地形だけから冠水を考えると、ここを見落とす。

降雨、流入、浸透をゼロとし、下流水位を一定、流出が容量上限に達していないとする。さらに $H\ge z$ の場合に絞り、 $h_*=H-z$ と置く。初期水深 $h_0>h_*$ なら、

\frac{dh}{dt}=-\frac{k}{A}(h-h_*)

なので、

h(t)=h_*+(h_0-h_*)e^{-t/\tau}, \qquad \tau=\frac{A}{k}

となる。 $\tau$ は秒。これで、同じ出口なら面積が二倍の区画は、同じ割合まで水位差を減らすのに二倍の時間がかかる、とモデル内で言える。

余分な水深が10％になる時間は $\tau\ln 10$ 。ゼロへ瞬時に落ちるのではなく、出口に対する水位差が小さくなるほど抜け方が遅くなる。

一方、排水が上限に張り付く領域では水深は毎秒 $Q_{\mathrm{cap}}/A$ ずつ減る。最初は直線的、その後は指数的。水位の時系列があれば、この違いを見られるかもしれない。

アナロジーとしては、水面差が電圧差、流量が電流、面積が容量、 $1/k$ が抵抗に対応する。単純な線形領域ならRC回路と同じ指数応答になる。

ただし、実際の水には敷居があり、通路があふれ、逆流し、流れの運動量もある。上の一方向モデルは、それを切り捨てている。電気回路に似ているから十分なのではなく、どこを追加すると似なくなるかが次の課題だ。

仮想の三区画をつなぐなら、出口容量と下流水位だけを変え、水位曲線と総水量の収支を確認する。実測へ進む場合は、水位だけでなく下流の水位、降雨、ポンプ作動も必要になる。指数曲線から得た $k$ が違って見えても、下流条件が動いていたなら出口の性能差とは言えないからだ。

数値シミュレーションも実地の検証も、まだ行っていない。それでも「最後は海へ行くはず」という直感に、つながり方と時間という二つの条件を足せた。出口があることと、水が引くことの間には、まだ計算するものがある。

US Army Corps of Engineers, HEC-RAS技術資料 2D Shallow Water Equations。確認日：2026-09-16 JST。
数式のうち区画の収支と線形排水は筆者の説明用モデル。計算実験は未実施。実地域の浸水予測や設計には水理・土木の専門家に確認が必要。